考慮面齒輪實際齒面的加工誤差客觀存在的基礎(chǔ)上，采用一種迭代方法建立測量坐標系，使得測量坐標系盡量接近設(shè)計坐標系，并根據(jù)加工誤差對測量坐標系與設(shè)計坐標系之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型進行約束，從而實現(xiàn)精確求解。在此基礎(chǔ)上，建立了實測點與理論測量點之間的數(shù)學(xué)模型，并由此補償加工誤差引起的相關(guān)測量誤差。最后進行實際測量實驗，結(jié)果顯示本方法的測量坐標系與設(shè)計坐標系之間的誤差相比于傳統(tǒng)方法降低了 89% 以上，最大測量偏差降低了 54% 以上，測量結(jié)果更加真實可靠。

　　面齒輪傳動于 20 世紀 90 年代開始作為一種傳動分匯扭新型方案應(yīng)用于直升機傳動系統(tǒng)當中，相應(yīng)的面齒輪分匯扭傳動主減速器較傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)質(zhì)量下降了 40%，且具有動力分流效果好、振動小、噪聲低等顯著優(yōu)勢。面齒輪作為新型傳動系統(tǒng)中的關(guān)鍵部件，制造精度是影響其各項性能的重要指標，在加工制造的過程中，準確的齒形測量結(jié)果能有效地指導(dǎo)下一步的反調(diào)修正，從而提高加工精度。

　　在針對零件加工精度的測量時，首先需根據(jù)零件設(shè)計模型規(guī)劃測量路徑，獲取理論測量點在設(shè)計坐標系下的坐標及法矢，并根據(jù)加工后的零件建立測量坐標系，進行實際測量獲取測量點在測量坐標系下的坐標信息，最后采用數(shù)據(jù)處理算法進行誤差分析。理想情況下，如果測量坐標系與設(shè)計坐標系重合或誤差很小，且測量設(shè)備及軟件、偶然因素等影響也很小，得出的測量結(jié)果能非常準確地反應(yīng)出加工誤差。而實際測量過程中與理想情況下的差別不容忽視，測量機床自身存在的幾何誤差、測頭類型及相應(yīng)的數(shù)據(jù)補償方式、測量軟件的誤差評價方法都會對測量結(jié)果產(chǎn)生影響，除此之外，對測量精度要求很高且?guī)缀螐?fù)雜的齒輪類零件，在不考慮測量設(shè)備及軟件、偶然性等因素影響的情況下，主要還有以下兩個方面引起測量誤差。

　　1)測量坐標系與設(shè)計坐標系之間的差異導(dǎo)致的測量誤差。

　　測量過程中需根據(jù)實際加工后的零件幾何建立測量坐標系，該過程中影響測量坐標系建立的因素眾多，使得測量坐標系難以與設(shè)計坐標系重合，且測量之前無法獲得衡量兩者之間關(guān)系的信息。在此基礎(chǔ)上，實際測量前需根據(jù)設(shè)計模型進行理論測量路徑規(guī)劃，相應(yīng)測量點的坐標及法矢信息是在設(shè)計坐標系下獲得的，而測量時這些信息則是在測量坐標系下使用，由于測量坐標系與設(shè)計坐標系之間存在差異，故實際測量路徑與理論測量路徑存在誤差，從而影響測量結(jié)果。

　　2)加工誤差引起的測量誤差

　　由于加工誤差存在，加工后的齒面相對于原有設(shè)計模型是存在誤差的，使得相應(yīng)的實際測量點與理論測量點存在偏差。另外，加工誤差的存在同時也影響測量坐標系的建立，進一步影響測量結(jié)果。

　　為滿足零件的高精度測量要求，目前已存在較多針對上述兩個因素的研究工作，Liu 和 Fang 等基于齒輪測量中心，考慮測量過程中加工誤差引起的漸開線斜齒輪角對中誤差，提出了一種有效的齒距和齒形的測量誤差補償方法。Shi 等提出了一種基于五軸銑床的螺旋錐齒輪在機測量方法。Li等針對準雙曲面齒輪齒面數(shù)據(jù)測量的局限性，利用誤差敏感性分析模型，通過三維測量點重建，得到了描述實際齒面局部微幾何特征的真實齒面。Zhang 等針對測量過程中的旋轉(zhuǎn)和加速運動引起的動態(tài)測量誤差問題，利用加速度計和陀螺儀對測量誤差進行補償;以上研究的相關(guān)成果也用在了面齒輪的測量上。

　　面齒輪的測量設(shè)備可以使用齒輪專用測量設(shè)備和通用測量設(shè)備兩類。對于面齒輪專用測量方法，可以采用齒輪測量中心來實現(xiàn)，也可以在三坐標測量機上結(jié)合專用的測量軟件(如 QUIN ‐ DOS)來實現(xiàn)，上述專用測量方法的測量精度高，但需要配備專用設(shè)備或軟件。如使用通用測量設(shè)備，在三坐標測量機上采用通用測量軟件(如 PC‐ DIMS)即可以進行，通用性強，但目前測量精度一般難以保證，需要進一步研究合理的測量方法并開發(fā)相關(guān)數(shù)據(jù)處理技術(shù)來提高測量精度。

　　為保證面齒輪三坐標測量方法的測量精度，許多學(xué)者開展了相關(guān)研究。波音公司 Heath 等首先提出使用坐標測量儀(CMM)對面齒輪齒面進行坐標測量，并將測量區(qū)域規(guī)劃在工作齒面上。北京工業(yè)大學(xué)的石照耀教授團隊考慮了面齒輪設(shè)計坐標系和測量坐標系之間的轉(zhuǎn)換誤差，研究了測球半徑對測量結(jié)果的影響規(guī)律。齒距偏差方面，中南大學(xué)的唐進元教授團隊提出面齒輪齒距偏差曲面的相關(guān)概念，構(gòu)建了基于三坐標測量機獲得面齒輪齒距偏差曲面的方法。重慶大學(xué)的林超等對如何建立面齒輪的測量坐標系進行了研究，提出了一種基于“三二一原理”的面齒輪測量坐標系建立方法。

　　現(xiàn)有的面齒輪測量方面的研究已取得一定成果，但在某些情況下還存在一些局限性，尤其是對以下兩個方面的研究還有待深入。

　　1)面齒輪測量坐標系與設(shè)計坐標系之間關(guān)系數(shù)學(xué)模型的精確求解。

　　根據(jù)坐標變換原理，測量坐標系與設(shè)計坐標 系之間的關(guān)系可以表示為包含 5 個未知量的坐標變換相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，并可以進一步根據(jù)測量結(jié)果來求解該數(shù)學(xué)模型。該求解過程為復(fù)雜的全局優(yōu)化問題求解，求解結(jié)果不但對初始值非常敏感，而且存在多解，且很可能實際要找的解并非全局最優(yōu)解，故容易出現(xiàn)噪聲解。面齒輪齒面復(fù)雜，根據(jù)傳統(tǒng)方法建立的測量坐標系與設(shè)計坐標系還存在較大偏差，使得相應(yīng)優(yōu)化問題的初值不理想。此外，目前也無相關(guān)研究來指導(dǎo)如何避免該優(yōu)化 問題的噪聲解。

　　2)測量坐標系與設(shè)計坐標系的差異及加工誤差對測量結(jié)果的影響相互耦合，目前還缺乏同時考慮這兩個因素對測量結(jié)果影響的研究工作。

　　針對上述兩個問題，本文提出了相應(yīng)解決方案，主要思路包含下述 3 點：

　　1)鑒于加工誤差的客觀存在，在建立測量坐標系的過程中，綜合考慮面齒輪的幾何特點及其相應(yīng)加工誤差，盡可能將測量坐標系接近設(shè)計坐標系，從而為求解測量坐標系與設(shè)計坐標系之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型提供良好的初值。

　　2)根據(jù)加工誤差約束測量坐標系與設(shè)計坐標系之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，有效地縮小解集空間，從而盡量避免噪聲解。

　　3)在獲得測量坐標系與設(shè)計坐標系之間關(guān)系的基礎(chǔ)上，進一步分析加工誤差對測量結(jié)果的影響，并由此補償加工誤差引起的測量誤差。

　　一、測量路徑規(guī)劃

　　面齒輪齒面方程及法矢：面齒輪齒面幾何一般根據(jù)面齒輪的產(chǎn)形原理進行設(shè)計，考慮面齒輪與小輪的嚙合過程，將小輪替換為一個少齒數(shù)的產(chǎn)形輪，面齒輪齒面則由該產(chǎn)形輪齒面在嚙合過程中包絡(luò)形成。以正交直齒面齒輪為例，產(chǎn)形輪(或小輪)與面齒輪嚙合的相對位置關(guān)系如圖 1 所示，其中產(chǎn)形輪軸線與面齒輪軸線相交于一點，且產(chǎn)形輪和面齒輪在嚙合過程中分別以角速度 ω_s、ω₂旋轉(zhuǎn)角度 φ_s、φ₂。根據(jù)產(chǎn)形輪齒面方程和相應(yīng)的嚙合過程，可得面齒輪齒面方程

　　其中 θ_s 為產(chǎn)形輪齒廓線的參變量。根據(jù)齒面方程，對應(yīng)齒面點法矢可表示為

 

圖 1 面齒輪副空間嚙合

　　待測區(qū)域規(guī)劃：在面齒輪齒形誤差的評價過程中，應(yīng)選取合適的齒面區(qū)域進行測量。首先，為了避免測球在齒頂邊緣和齒根處發(fā)生干涉，測量齒面時在邊界處需要預(yù)留出一定的空間。其次，考慮面齒輪過渡區(qū)域不直接參與嚙合傳動，為了更好地分析測量結(jié)果，面齒輪齒形誤差評價范圍以工作齒面為對象。在上述兩點考慮的基礎(chǔ)上，參照螺旋錐齒輪的齒形誤差測量方法，測量區(qū)域 ABCD 規(guī)劃如圖 2 所示，齒寬方向各向內(nèi)收縮 10%;齒頂向下收縮 5%，過渡曲線向上收縮 5%；其中 W_h為面齒輪齒寬，H_v表示工作區(qū)域?qū)?yīng)齒寬處的截面線在面齒輪軸線上的投影。測量區(qū)域密度為 9×5 的網(wǎng)格點，即在齒寬方向取 9 個網(wǎng)格點，齒高方向上取 5 個網(wǎng)格點。

圖 2 面齒輪齒面網(wǎng)格示意圖

　　測量點坐標求解：要實現(xiàn)對面齒輪測量路徑的規(guī)劃，還需求得待測區(qū)域網(wǎng)格點的理論坐標。為此，構(gòu)建面齒輪齒槽中心平面 ZOR，如圖 3 所示，待測區(qū)域網(wǎng)格點與平面 ZOR 上的點存在一一對應(yīng)的關(guān)系，以齒面上某一待測網(wǎng)格點 P_t 為例，其繞面齒輪軸線 Z 旋轉(zhuǎn)的軌跡與平面 ZOR 的唯一交點為點 P，相應(yīng)地稱該一一對應(yīng)的關(guān)系為旋轉(zhuǎn)投影關(guān)系。

圖 3 待測區(qū)域投影平面

　　對應(yīng)地，面齒輪齒面在 ZOR 上的旋轉(zhuǎn)投影為 Σ，待測區(qū)域 ABCD 在平面 ZOR 上的旋轉(zhuǎn)投影為 A′B′C′D′，曲線 C_t為過渡曲線在 ZOR 上的旋轉(zhuǎn)投影。假設(shè)面齒輪內(nèi)半徑為 R_i，外半徑為 R_o，在圖 3 所示的 ZOR 坐標系內(nèi)，投影區(qū)域 A′B′C′D′邊緣點 A′、B′的 r 坐標 r_min為

　　邊緣點 D′、C′的 r 坐標 r_max為

　　在OR 軸的[r_min，r_max]區(qū)間上規(guī)劃 9 個等距節(jié)點 r_i( i=1，2，…，9)，使得

　　根據(jù)過渡曲線形成原理，結(jié)合齒面方程(式(1))，過渡曲線上半徑 ri處的點 r(θ_smax,φ_i )滿足

 

　　其中 θ_smax為產(chǎn)形輪齒頂對應(yīng)的展角，是已知常數(shù)。據(jù)此求解式(6)可得 φ_i，再將 θ_smax、φ_i 代入式(1), 可得過渡曲線在 r_i處 Z 坐標 z_ri 為

　　C_t為齒面過渡曲線繞 Z 軸旋轉(zhuǎn)投影得到，故曲線 C_t上所有點在 ZOR 平面上的 Z 坐標與過渡曲線上對應(yīng)點的 Z 坐標相等，令投影區(qū)域在 R_i處的 Z 坐標上下限 z_riu 、z_ril 為

　　式(8)、式(9)中 z_A 為面齒輪齒頂在 ZOR 坐 標系內(nèi)的 Z 坐標值，這樣在投影區(qū)域 A′B′C′D′內(nèi)，每一個 r_i對應(yīng)著一對上下限 z_riu、z_ril，如圖 3 所示。

　　相應(yīng)的在區(qū)間[ z_riu ,z_ril ]上規(guī)劃 5 個等距節(jié)點 z_j(j=1，2，…，5)，使得

　　結(jié)合式(5)和式(10)，投影區(qū)域 A′B′C′D′內(nèi)的 9×5 個網(wǎng)格點坐標可表示為 P(r_i，z_j )。根據(jù)旋轉(zhuǎn)投影的原理，投影網(wǎng)格點 P 與待測齒面網(wǎng)格點 P_t ( θ_s，φ₂ )之間存在對應(yīng)關(guān)系如下：

　　已知參數(shù) r_i和 z_j，求解式(11)對應(yīng)的參數(shù) θ_s、 φ₂，具體求解過程可以參考文獻，再結(jié)合式(2)可求得齒面網(wǎng)格點 P_t 及其法矢 n_t，故網(wǎng)格點理論坐標及法矢可表示為關(guān)于參數(shù) r_i、z_j的矢量函數(shù) P_t( r_i，z_j )和 n_t( r_i，z_j )。

　　二、測量坐標系的建立

　　測量坐標系建立策略：以面齒輪設(shè)計坐標系作為理想測量坐標系，齒面網(wǎng)格中心點為設(shè)計坐標系的角向定位基準，假設(shè)面齒輪設(shè)計坐標系 S_d如圖 4 所示，坐標原點 O_d與上端面圓心重合，Zd軸與面齒輪軸線共線，遠離上端面的方向為正，Y_d 方向為網(wǎng)格中心點 P_t( r₅，z₃ )與 Z_d軸確定的平面的法矢，X_d根據(jù)笛卡兒右手法則確定。

圖 4 面齒輪設(shè)計坐標系

　　定義理想的測量坐標系之后，需進一步建立測量坐標系與實際零件之間的關(guān)系，由于該坐標系通常與理想的測量坐標系有所差異，稱之為實際測量坐標系。一般地，可通過測量零件特征元素上各個實際點的坐標，并進行相應(yīng)的數(shù)學(xué)處理，從而建立工件實際擺放位置與測量坐標系之間的對應(yīng)關(guān)系，即獲得了實際測量坐標系。對于面齒輪齒面來說，網(wǎng)格中心點 P_t( r₅，z₃ )并不是突出的特征元素，在確定測量坐標系角向定位基準的過程中，很難準確地在實際齒面上觸碰到該點，存在一定程度的偶然性;選取的測量基準與設(shè)計基準位置的差異將會導(dǎo)致測量坐標系與設(shè)計坐標系不重合，影響測量結(jié)果的準確性。

　　為了減小制造誤差及選取基準時的偶然性對測量坐標系的影響，本文基于以下兩點策略建立測量坐標系，使得建立的實際測量坐標系盡可能接近理想的測量坐標系(即設(shè)計坐標系)：

　　1)考慮面齒輪齒坯外圓和齒頂端面的公差， 確定測量坐標系的原點 O_m和 Z_m軸；

　　2)基于迭代思想確定測量坐標系的 X_m軸。

　　測量坐標系原點 O_m 及 Z_m 軸確定：采用通用測量軟件進行測量時，系統(tǒng)存在一個初始坐標系 O?XYZ，在該坐標系下逐次觸測面齒輪頂面區(qū)域的點，根據(jù)平面擬合的原理，當測量點到達一定數(shù)目時，用最小二乘的方式將測點擬合成一平面 F，并隨著測點的增加逐次更新 F；當 F 隨著觸點的增加，其所表現(xiàn)出來的平面度在圖紙規(guī)定的平面度公差范圍內(nèi)跳動時，提取 F 的法矢作為測量坐標系 Z_m軸所在的方向，如圖 5(a)所示。平面 F 在 O‐XYZ 坐標系下可表示為

　　

圖 5 O_m位置和 Z_m方向確定

　　Z_m軸方向確定后，測針觸測外圓同一高度上的點，如圖 5(b)所示。當測量點個數(shù)達到一定數(shù)目時，采用最小二乘的方式將測點擬合為圓 G，并隨著測點的增加逐次更新 G；當 G 的圓度在公差規(guī)定的范圍內(nèi)趨于穩(wěn)定時，提取圓心坐標 O_G(x_G， _yG，z_G)，此時將測量坐標系的原點 O_m (x_m，y_m，z_m) 定義為

　　測量坐標系 Xm軸的確定：定義測量坐標系原點 O_m 和 Z_m 軸后，尚未確定的 X_m軸、Y_m軸方向仍為系統(tǒng)初始的 X、Y 方向。如圖 6 所示，在該坐標系下，將測針大致觸測網(wǎng)格中心點 P_t( r₅，z₃ )附近區(qū)域，獲得測點 P₀的三坐標測量值(x_P0 ，y_P0 ，z_P0 )，根據(jù)式(14)、式(15)將其轉(zhuǎn)換成柱坐標形式(R_P0 ，β_P0 ，z_P0 )。

　　

圖 6 粗建測量坐標系

　　其中 R_P0 為 點 P₀ 所在的半徑位置，β_P0 為 點 P₀ 的極角。

　　獲得 P₀與初始 X 軸之間的轉(zhuǎn)角 β_P0 之后，將坐標系 O_m ‐XYZ_m繞 Z_m軸旋轉(zhuǎn) β_P0 角，使得 XOmZm平面經(jīng)過 P₀點，便于后文描述，將旋轉(zhuǎn)之后的測量坐標系定義為 S₀，此時 S₀ 的 X 軸方向定義為 X_m 軸，Y 軸的方向定義為 Y_m軸。對于面齒輪齒面來說，點 P_t(r₅，z₃ )并不是特征元素，測量時無法保證測點 P0就是理論網(wǎng)格中心點 P_t( r₅，z₃ )，那么以 P₀ 為角向定位基準粗略建立的測量坐標系就會與設(shè)計坐標系之間存在偶然性偏差。

　　為避免這一問題，使角向定位基準點較為準確地落在面齒輪理論網(wǎng)格中心上，采用一種迭代尋找齒面網(wǎng)格中心點確定測量坐標系 X_m方向的方法。具體步驟如下：

　　1)根據(jù)建立的理想測量坐標系(如圖 4 所示)，求得理論網(wǎng)格中心點 P_t( r₅，z₃ )的柱坐標(R，O，Z)，及該點的法矢量 n_t( r₅，z₃ )。

　　2)在坐標系 S_k( k 初始值為 0)下沿理論法矢 n_t( r₅，z₃ )觸測點 P_t(r₅，z₃ )，輸出極坐標形式的測量結(jié)果(R_k，β_k，Z_k );

　　3)比較該點的測量半徑 R_k與理論半徑 R_t；若滿足精度要求|R_k-R_t|≤ε，輸出坐標系 S_k作為后續(xù)測量齒面的精確坐標系;若不滿足精度要求 |R_k-R_t|≤ε，則將坐標系 S_k繞 Z_k軸旋轉(zhuǎn) β_k角度，旋轉(zhuǎn)后的坐標系定義為 S_k+1，且令 k=k+1，跳轉(zhuǎn)執(zhí)行步驟 2)。

　　相應(yīng)的流程如圖 7 所示。

圖 7 迭代建立測量坐標系