齒輪傳動(dòng)在現(xiàn)代工業(yè)中扮演著非常重要的角色，它具有效率高、結(jié)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)精度高等特點(diǎn)，因而被廣泛應(yīng)用于機(jī)械傳動(dòng)領(lǐng)域。直齒、斜齒、人字齒是最常見(jiàn)的齒輪傳動(dòng)，由于結(jié)構(gòu)上的原因，上述圓柱齒輪存在一定的缺點(diǎn)，如漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪承載力有限、斜齒輪存在軸向力以及人字齒輪加工復(fù)雜等問(wèn)題的存在。近些年國(guó)內(nèi)外有些學(xué)者對(duì)圓弧齒線圓柱齒輪也進(jìn)行研究，王虹等利用 ANSYS 對(duì)齒輪進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析;馬登秋對(duì)齒輪不同位置的沖擊接觸應(yīng)力的分布進(jìn)行了研究;ZHANG X G 等研究了圓弧齒線圓柱齒輪的接觸線，并對(duì)齒輪的接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力進(jìn)行了研究。CHEN Y C 等推導(dǎo)了該齒面數(shù)學(xué)模型，研究了其傳動(dòng)誤差等，研究結(jié)果表明，該齒輪具有重合度大、接觸潤(rùn)滑性能好、無(wú)軸向力、噪音低、嚙合性能好、效率高等優(yōu)點(diǎn)，相對(duì)于直齒輪傳動(dòng)存在的平穩(wěn)性較差，易產(chǎn)生沖擊、振動(dòng)和噪聲問(wèn)題以及斜齒輪存在軸向力、人字齒輪加工繁瑣復(fù)雜等問(wèn)題，該齒輪在大多數(shù)應(yīng)用環(huán)境下可以代替使用。

　　為解決上述圓柱齒輪結(jié)構(gòu)上存在的缺點(diǎn)，筆者分析了一種新型的齒輪傳動(dòng)—圓弧齒線圓柱齒輪。圓弧齒線圓柱齒輪的主要特征是其齒線為一段空間曲線，圓弧齒線圓柱齒輪的齒廓既可以是漸開(kāi)線，也可以是諾維柯夫圓弧曲線。通過(guò)分析得出該齒輪作為機(jī)械傳動(dòng)領(lǐng)域的一種機(jī)械基礎(chǔ)零件，具有非常廣闊的應(yīng)用前景。

　　一、圓弧齒線圓柱齒輪的加工原理

　　目前，可查詢到的圓弧齒線圓柱齒輪的加工方法有很多，如雙刃旋轉(zhuǎn)刀盤(pán)銑削加工、單刃旋轉(zhuǎn)銑刀盤(pán)加工、平行連桿機(jī)構(gòu)加工、數(shù)控立式銑床加工等，但最常見(jiàn)的加工方法為旋轉(zhuǎn)刀盤(pán)法和平行連桿法。旋轉(zhuǎn)刀盤(pán)銑削加工與平行連桿法機(jī)構(gòu)相比，齒輪加工效率更高，同時(shí)也可以保證精度，在系統(tǒng)剛度、最大切削速度、加工齒形合理性、是否能加工硬齒面方面，旋轉(zhuǎn)刀盤(pán)法具有更好的工藝性能，故目前使用范圍最為廣泛。但這種方法會(huì)使圓弧齒線圓柱齒輪表面留有加工痕跡，后續(xù)還需要進(jìn)一步精加工。

　　旋轉(zhuǎn)刀盤(pán)銑削加工齒輪的原理如圖 1 所示，在加工齒輪的過(guò)程中，包括了 3 個(gè)運(yùn)動(dòng)：刀盤(pán)的高速旋轉(zhuǎn)切削運(yùn)動(dòng)、齒坯繞中心的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和刀盤(pán)的水平移動(dòng)、保證加工完整的刀盤(pán)的進(jìn)給運(yùn)動(dòng)。刀盤(pán)安裝在機(jī)床主軸上，齒坯安裝在機(jī)床上，機(jī)床工作時(shí)，刀盤(pán)和齒坯之間將按既定的速度進(jìn)行展成運(yùn)動(dòng)，所以：

　　V_T = V_R

　　式中：V_T 是刀盤(pán)沿 X 方向移動(dòng)速度；V_R 是齒坯節(jié)圓上的旋轉(zhuǎn)速度。

　　加工一個(gè)完整的齒后，利用分度機(jī)構(gòu)完成齒坯分度，繼續(xù)進(jìn)行下一個(gè)齒面的加工，直至加工一個(gè)完整的齒輪。

　　建立如圖 1 所示坐標(biāo)系，S₀( X Y Z) 為靜止坐標(biāo)系，S₁( X₁Y₁Z₁ ) 為與齒固聯(lián)的動(dòng)坐標(biāo)系，S_T( X_TY_TZ_T ) 為與刀盤(pán)固聯(lián)的坐標(biāo)系，以速度 V_T =R·ω 相對(duì) S0 坐標(biāo)系做平移運(yùn)動(dòng)，R 為齒坯的分度圓半徑，刀具平均展成半徑為 R_t，右側(cè)內(nèi)刀刃用于生成凸齒面，左側(cè)外刀刃用于生成凹齒面，內(nèi)外刀刃的展出半徑分別為 R_n =R-πm /4 和 R_m = R+πm /4，齒輪凸齒面的半徑略小于凹齒面半徑。

　　根據(jù)加工原理可知，加工凸齒面和凹齒面的刀盤(pán)半徑存在差異，導(dǎo)致中間截面處的齒槽寬略小于齒輪端面齒槽寬。當(dāng)由上述原理加工而成的一對(duì)齒輪副進(jìn)行嚙合時(shí)，其中一個(gè)齒輪的凸面與另一個(gè)齒輪的凹面接觸嚙合，由于齒面的展成半徑不同，齒輪的嚙合狀態(tài)就如圖 2 所示，此時(shí)的齒輪為點(diǎn)接觸嚙合。如圖 3 所示。圓弧齒線圓柱齒輪的理想嚙合狀態(tài)為線接觸嚙合，此時(shí)齒輪的凸齒面展成半徑與凹齒面的展成半徑相等，沿齒寬方向的齒廓均為漸開(kāi)線齒廓，齒線為圓弧的一部分，齒輪的周向齒槽寬和法向齒槽寬處處相等，齒輪副的接觸線為空間曲線。

　　二、圓弧齒線圓柱齒輪齒面方程

　　如圖 4(a) 所示，該齒面∑可以認(rèn)為是由某一徑向截面齒面漸開(kāi)線齒廓 T 沿基圓柱齒線 S 掃描形成。在基圓柱中間截面建立坐標(biāo)系，使 S₁( X₁Y₁Z₁ )  的 X₁O₁Y₁ 平面通過(guò)基圓柱中間截面，Z₁ 通過(guò)基圓軸線，基圓半徑為 R_b1。坐標(biāo)系 S_h( X_h Y_h Z_h ) 是距離中間截面 h 的齒線位置坐標(biāo)系，β 為弧齒線的位置角，輪齒與平面 X_hO_hZ_h 截面如圖 4(b) ，其與齒面∑ 的交線 Th 為漸開(kāi)線。

圖 4 圓弧齒線圓柱齒輪漸開(kāi)線齒廓

　　齒廓漸開(kāi)線方程為：

　　式中：α 為漸開(kāi)線展開(kāi)角。

　　Z₁ 和 Z_h同軸且都通過(guò)基圓柱軸線，平面 X_hO_hZ_h 截面的齒廓可認(rèn)為是由 X₁O₁Y₁ 平面上的漸開(kāi)線齒廓繞 Z 軸旋轉(zhuǎn) β 得到，坐標(biāo)系 S_h 下的漸開(kāi)線的方程為：

　　根據(jù)其幾何關(guān)系可以推出圓弧齒線位置角為：

　　式中：R 為分度圓半徑；R_T 為齒線半徑。

　　由 S_h 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到 S₁ 坐標(biāo)系的變換矩陣為:

　　通過(guò)坐標(biāo)變換：

　　可導(dǎo)出齒面方程:

　　式中：b 為齒寬。

　　三、圓弧齒線圓柱齒輪建模

　　圓弧齒線圓柱齒輪副的基本參數(shù)如表 1 所列，基于三維建模軟件 SolidWorks，按照以下基本步驟：根據(jù)參數(shù)畫(huà)出基圓、齒根圓、分度圓和齒頂圓及漸開(kāi)線;然后畫(huà)出圓弧齒線圓柱齒輪的端面齒形和中間截面齒廓，在 Matlab 中編寫(xiě)相關(guān)程序生成空間引導(dǎo)線，將引導(dǎo)線離散為若干點(diǎn)的坐標(biāo)導(dǎo)入到 SolidWorks，利用曲線功能生成空間引導(dǎo)線;由于圓弧齒線圓柱齒輪的齒線為圓弧形狀，在生成模型時(shí)只需要計(jì)算每個(gè)端面的旋轉(zhuǎn)角度，最后根據(jù)引導(dǎo)線執(zhí)行放樣切除、圓角和陣列命令，就可以得到圓弧齒線圓柱齒輪模型。如圖 5 所示。

表 1 圓弧齒線圓柱齒輪的主要幾何參數(shù)

圖5 圓弧齒線圓柱齒輪模型

　　平行于漸開(kāi)線圓弧齒線圓柱齒輪中間軸線平面的任意截面齒廓均為漸開(kāi)線齒廓，齒輪的周向齒厚也處處相等，并且該齒輪凹凸面曲率半徑也相等，齒線為圓弧的一部分。這種齒形屬于標(biāo)準(zhǔn)齒形，一對(duì)壓力角和模數(shù)相等的圓弧齒線圓柱齒輪能?chē)Ш享槙常X面接觸為線接觸，該齒形可以增大接觸區(qū)域和重合度， 使齒輪的使用壽命增加。齒輪副的模型如圖 6 所示。

圖 6   圓弧齒線圓柱齒輪齒輪副模型

　　四、圓弧齒線圓柱齒輪副接觸應(yīng)力分析

　　根據(jù)文獻(xiàn)，圓弧齒線圓柱齒輪的齒面接觸應(yīng)力與齒寬和齒線半徑密切相關(guān)，并且相同條件下，圓弧齒線圓柱齒輪副的接觸強(qiáng)度較直齒輪和斜齒輪有明顯提高。文中研究相同條件下不同齒寬、齒線半徑對(duì)該齒輪齒面接觸應(yīng)力的影響，利用 ANSYS Work-bench 對(duì)齒輪接觸應(yīng)力進(jìn)行分析和總結(jié)。

　　齒寬對(duì)接觸應(yīng)力的影響

　　為了分析齒寬對(duì)圓弧齒線圓柱齒輪接觸應(yīng)力的影響，選取 8 組齒寬系數(shù)不同的齒輪副進(jìn)行接觸應(yīng)力分析，齒寬系數(shù) Φa 為齒輪寬度與中心距的比值，其余參數(shù)如表 1 所列。將建立的齒輪副模型導(dǎo)入到 AN-SYS Workbench 中對(duì)齒輪副進(jìn)行接觸應(yīng)力分析，材料默認(rèn)為結(jié)構(gòu)鋼，彈性模量為 2×10¹¹ Pa，泊松比為 0.3， 小齒輪施加扭矩 T = 200 N·m，齒面接觸類(lèi)型為摩擦接觸，摩擦系數(shù) 0.05，得到八組輪齒接觸應(yīng)力云圖，如圖 7 所示。

圖 7 不同齒寬時(shí)輪齒的接觸應(yīng)力云圖

　　圖7(a) ～ (h) 分別對(duì)應(yīng)了 8 組不同齒寬系數(shù)的圓弧齒線圓柱齒輪副在扭矩 T = 200 N·m 下的接觸應(yīng)力的大小，接觸應(yīng)力值如表 2 所列。將不同齒寬的齒輪接觸應(yīng)力值進(jìn)行擬合，得到的曲線如圖 8 所示。

表 2 不同齒寬時(shí)輪齒接觸應(yīng)力參數(shù)　

　

圖 8 不同齒寬接觸應(yīng)力分布圖

　　圖 8 中，當(dāng)齒輪的齒數(shù) z、模數(shù) m、齒線半徑 R、壓力角 α 等參數(shù)一定時(shí)，齒輪的承載能力在一定范圍內(nèi)會(huì)隨著齒寬 b 的增加而增強(qiáng)。但當(dāng)齒寬系數(shù) Φa 大 于 0.6 時(shí)，齒面的接觸應(yīng)力開(kāi)始增大，載荷沿著齒寬的分布開(kāi)始不均勻，容易造成偏載和應(yīng)力集中的現(xiàn)象，使齒輪的實(shí)際承載能力下降。

　　齒線半徑對(duì)接觸應(yīng)力的分析

　　為了分析變齒線半徑對(duì)圓弧齒線圓柱齒輪接觸應(yīng)力的影響，選取 8 組齒線半徑不同的齒輪副進(jìn)行接觸應(yīng)力分析，其余參數(shù)如表 1 所列。小齒輪施加 T = 200 N·m 的扭矩，分析設(shè)置與上述一致，得到的 8 組接觸應(yīng)力云圖如圖 9 所示。

圖 9 不同齒寬時(shí)輪齒的接觸應(yīng)力云圖

　　圖 9(a) ～ (h) 分別對(duì)應(yīng)了 8 組不同齒線半徑的圓弧齒線圓柱齒輪副在扭矩 T = 200 N·m 下的接觸應(yīng)力的大小，接觸應(yīng)力值如表 3 所列。將不同齒線半徑的接觸應(yīng)力值進(jìn)行擬合，得到的曲線如圖 10 所示。

表 3 不同齒線半徑時(shí)輪齒的接觸應(yīng)力參數(shù)

圖10 不同齒線半徑接觸應(yīng)力分布圖

　　從圖 10 可以看出，齒輪的齒數(shù) z、模數(shù) m、齒線 b、壓力角 α 等參數(shù)一定時(shí)，齒輪的接觸應(yīng)力隨著齒線半徑的增加，總體表現(xiàn)為先減小后增大的趨勢(shì)，圖形類(lèi)似拋物線。通過(guò)結(jié)果分析可知，該齒輪的承載能力與其齒線半徑密切相關(guān)，但齒線半徑并非越小越好或越大越好，而是在其他參數(shù)確定的情況下，齒線半徑在某個(gè)范圍內(nèi)，齒輪承載能力最好，接觸應(yīng)力值最小。由 10 可知，當(dāng) 1.5b≤R≤2.5b 時(shí)，圓弧齒線圓柱齒輪的承載能力最好。

　　五、結(jié)論

　　(1) 通過(guò)對(duì)圓弧齒線圓柱齒輪副加工原理和齒面方程的分析，利用建模軟件 SolidWorks 和分析軟件 Matlab 得到圓弧齒線圓柱齒輪的精準(zhǔn)模型，為后續(xù)的分析提供了相關(guān)基礎(chǔ)。

　　(2) 理論上齒輪齒面接觸應(yīng)力隨齒寬系數(shù)的增加而減小，但并非越大越好，當(dāng) Φa 大于 0.6 時(shí)，會(huì)使齒槽中的空氣體積變化大，嚙合過(guò)程中使空氣被壓出的速度很快，導(dǎo)致噪音增大，而且隨著齒寬的增大，載荷沿著齒寬的分布越不均勻，容易造成偏載和應(yīng)力集中的現(xiàn)象，使齒輪的實(shí)際承載能力下降。

　　(3) 在模數(shù) m = 4，齒數(shù) z₁ = 20、z₂ = 30 的圓弧齒線圓柱齒輪副中，齒輪的齒線半徑在 1.5b≤R≤2.5b 時(shí)，齒輪的承載能力最好。在齒輪其他相關(guān)參數(shù)不變的情況下，隨著齒線半徑的增加，接觸應(yīng)力總體表現(xiàn)為呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢(shì)，最終隨著齒輪齒線半徑增大到無(wú)限時(shí)，結(jié)果近似于直齒輪。研究的結(jié)論為圓弧齒線圓柱齒輪以后的工程應(yīng)用和設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。

　　參考文獻(xiàn)略