在日益嚴(yán)酷的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中，產(chǎn)品的使用壽命和可靠性成為人們?cè)絹碓疥P(guān)注的焦點(diǎn)。每年因結(jié)構(gòu)疲勞失效導(dǎo)致大量產(chǎn)品在其服役期內(nèi)報(bào)廢，且由于疲勞失效而造成的特重大事故也時(shí)有發(fā)生。在傳統(tǒng)機(jī)械零件的設(shè)計(jì)過程中，機(jī)械產(chǎn)品的疲勞壽命通常是通過一定量物理樣機(jī)的耐久試驗(yàn)得到的，不但試驗(yàn)周期長，耗資巨大，且疲勞試驗(yàn)結(jié)果存在很大的分散性，影響因素眾多。
齒輪是傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中常用的典型元件，也是關(guān)鍵零件。齒輪的壽命決定了傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的壽命。齒輪失效，可分為齒根彎曲斷裂和齒面損傷兩大類。本文主要考慮齒輪齒根的彎曲疲勞斷裂及其相應(yīng)的壽命預(yù)測(cè)方法。
一、某型電動(dòng)機(jī)構(gòu)齒輪輪齒壽命預(yù)測(cè)
某型電動(dòng)機(jī)構(gòu)外形輪廓如圖1所示。該型電動(dòng)機(jī)構(gòu)主要由電動(dòng)機(jī)、多級(jí)齒輪減速器、輸出軸、輸出搖臂以及安裝支架等組成。其中，減速器由一級(jí)平行軸圓柱齒輪傳動(dòng)加三級(jí)串聯(lián)式行星齒輪組成。
圖1 某型電動(dòng)機(jī)構(gòu)三維剖視圖
構(gòu)建輪齒材料的S-N 曲線
輪齒材料為 38CrMoAlA，從材料手冊(cè)中可知，材料38CrMoAlA 的強(qiáng)度極限σb=980MPa，光滑試樣 (kt=1)的旋轉(zhuǎn)彎曲疲勞極限σ-1約為 520 MPa。缺口試樣(kt =2.4)的疲勞極限約為 320 MPa。
在103循環(huán)處，按照 RobertC.Juvill等的建議，疲勞強(qiáng)度σ103約為：
在長壽命、高周疲勞范圍可構(gòu)建材料的S-N 曲線(見圖2)。中值S-N曲線在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)中近似為一條直線，滿足直線關(guān)系式：
取對(duì)數(shù)
圖2 材料38CrMoAlA 的S-N 曲線
圖2中，直線AB通過點(diǎn)A(103，8882 MPa)、B (107，520MPa)，則可得到系數(shù)
所以，材料的S-N 曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：
同理，可構(gòu)建應(yīng)力集中系數(shù)kt=2.4的直線 AC 的數(shù)學(xué)表達(dá)式。
構(gòu)建齒輪輪齒的S-N 曲線
材料的S-N 曲線一般都是基于光滑、拋光小試樣進(jìn)行試驗(yàn)得到的。真實(shí)構(gòu)件的S-N曲線與構(gòu)件的形狀、構(gòu)件的尺寸、表面加工質(zhì)量、使用條件以及外界環(huán)境等因素都有直接關(guān)系，必須考慮這些綜合因素的影響。
1.考慮齒形形狀影響(應(yīng)力集中系數(shù)kt)的齒輪彎曲疲勞極限
真實(shí)構(gòu)件的形狀主要是考慮真實(shí)結(jié)構(gòu)的不連續(xù)性，即存在應(yīng)力集中。在齒輪齒根處，過渡圓角r的大小會(huì)影響應(yīng)力集中的程度，過渡圓角r越小，應(yīng)力集中程度越高。模數(shù) m=0.4mm 的齒形齒根應(yīng)力集中系數(shù)計(jì)算示意圖如圖3所示。按照早期的 EarleBuckingham 以及近期的 Peterson等推薦的經(jīng)驗(yàn)公式，參照?qǐng)D3，可以確定齒根應(yīng)力集中系數(shù)。
圖3 齒輪齒根應(yīng)力集中系數(shù)計(jì)算示意圖
對(duì)于20°壓力角的齒形，Peterson推薦的應(yīng)力集中系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式為：
按照已有的 38CrMoAlA 材料試驗(yàn)數(shù)據(jù)，光滑試樣(kt =1)的旋轉(zhuǎn)彎曲疲勞極限σ-1 約為 520 MPa，缺口試樣(kt =2.4)的疲勞極限約為320 MPa。可根據(jù)線性插值應(yīng)力集中系數(shù)kt=2.49 所對(duì)應(yīng)的疲勞極限：
得到：σkt=2.49=312.5 MPa。所以，考慮應(yīng)力集中的影響，將模數(shù) m=0.4mm 的齒形疲勞極限修正為312.5MPa。
2.輪齒構(gòu)件尺寸影響系數(shù)εσ
在疲勞試驗(yàn)機(jī)上試驗(yàn)的試樣直徑通常為6～10 mm，而一般零件的尺寸與試樣有很大差別。根據(jù)疲勞理論，在相同的名義應(yīng)力水平下，大尺寸構(gòu)件的高應(yīng)力區(qū)域大于小尺寸的高應(yīng)力區(qū)域，所以大尺寸構(gòu)件的疲勞壽命小于小尺寸構(gòu)件的疲勞壽命。
根據(jù)輪齒的齒寬2.3mm、齒厚0.646mm，按照矩形截面的尺寸修正因子公式，計(jì)算有效直徑：
所以，尺寸修正系數(shù)εσ為
3.輪齒表面加工質(zhì)量影響系數(shù)β
材料疲勞試件的表面都是經(jīng)過拋光處理的，表面質(zhì)量較高。考慮制造成本，實(shí)際服役零件的表面一般不可能都經(jīng)過拋光處理，粗糙的表面相當(dāng)于存在很多微小缺口，即結(jié)構(gòu)缺陷(裂紋源)，在零件承受交變載荷時(shí)就會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力集中。根據(jù)齒輪加工方式，選擇相應(yīng)的機(jī)械加工表面質(zhì)量系數(shù)，計(jì)算表面質(zhì)量影響系數(shù)：
式中，Sut是材料的拉伸極限強(qiáng)度，單位為 MPa。
綜上所述，考慮齒形的應(yīng)力集中、尺寸效應(yīng)以及表面加工質(zhì)量等因素，齒輪輪齒的疲勞極限為：
至此，可以構(gòu)建齒輪輪齒的S-N 曲線(見圖4)，該曲線經(jīng)過A(103，882MPa)、D(107，286.22MPa)。
圖4 模數(shù) m=0.4mm 輪齒的S-N 曲線
齒輪服役工況下的應(yīng)力計(jì)算
應(yīng)用有限元軟件 ANSYS Workbench，可以實(shí)現(xiàn)齒輪嚙合瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)仿真，獲得輪齒嚙合運(yùn)行工作狀態(tài)下準(zhǔn)確的動(dòng)態(tài)應(yīng)力/應(yīng)變-時(shí)間歷程響應(yīng)。以第1級(jí)展開式圓柱直齒輪為例，主要計(jì)算過程如下。
1.齒輪結(jié)構(gòu)簡化及網(wǎng)格劃分
真實(shí)的齒輪結(jié)構(gòu)，細(xì)節(jié)特征眾多，應(yīng)對(duì)齒輪結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理的簡化，以便實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量的網(wǎng)格劃分及仿真計(jì)算。
2.邊界條件設(shè)置
瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)仿真能很好地模擬齒輪嚙合的動(dòng)態(tài)過程，包括啟動(dòng)瞬間的加速?zèng)_擊，所以轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩邊界條件都考慮瞬態(tài)沖擊的影響，采用斜坡加載，加速時(shí)間為5ms。
3.瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析設(shè)置
齒輪嚙合瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)仿真，涉及輪齒接觸摩擦、大轉(zhuǎn)動(dòng)大變形以及材料塑性變形等非線性效應(yīng)，所以瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)仿真面臨的最大挑戰(zhàn)就是計(jì)算的收斂性，應(yīng)重點(diǎn)考慮如下幾個(gè)方面：1)接觸表面網(wǎng)格的精細(xì)化;2)打開大變形、大轉(zhuǎn)動(dòng)開關(guān);3)材料的非線性效應(yīng);4)載荷采用斜坡加載;5)積分時(shí)間步長 Δt的正確設(shè)置。
根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論，當(dāng)積分時(shí)間步長 Δt≤ T/20時(shí)，Newmark法的計(jì)算結(jié)果與解析解的誤差小于5%，其中，T 為結(jié)構(gòu)的自振周期。
4.有限元計(jì)算結(jié)果
齒輪嚙合瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)應(yīng)力計(jì)算結(jié)果如圖5所示。從應(yīng)力-時(shí)間響應(yīng)歷程曲線可以看出，輪齒最大應(yīng)力隨著齒輪嚙合呈周期性變化，符合齒輪嚙合一般規(guī)律，說明有限元仿真結(jié)果體現(xiàn)了齒輪嚙合單齒受力呈周期性的特點(diǎn)。局部放大最大應(yīng)力區(qū)域所在位置，結(jié)果如圖6所示。
圖5 齒輪嚙合等效應(yīng)力-時(shí)間歷程曲線
圖6 齒根圓角等效應(yīng)力
從最大應(yīng)力的局部放大圖(圖6)中可以看到，最大應(yīng)力主要分布在齒形接觸表面、齒根等位置。決定齒輪彎曲疲勞強(qiáng)度的是齒根過渡圓角處的彎曲應(yīng)力，由于齒根過渡圓角處存在應(yīng)力集中，局部應(yīng)力提高。從齒根圓角處的等效應(yīng)力圖中提取拉伸側(cè)的齒根圓角等效應(yīng)力值174.46 MPa。根據(jù)該型電動(dòng)機(jī)構(gòu)使用過程中雙向嚙合-44°～+65°的特點(diǎn)，兩側(cè)齒面均循環(huán)重復(fù)受載，屬于對(duì)稱循環(huán)載荷，平均應(yīng)力等于0，所以不用考慮平均應(yīng)力的影響。
綜上所述，齒輪嚙合對(duì)稱循環(huán)受載，具有如下的循環(huán)參數(shù)：最大應(yīng)力σmax =174.46 MPa，最小應(yīng)力 σmin=-174.46MPa，平均應(yīng)力σmean=0MPa。
結(jié)合38CrMoAlA 材料以及輪齒的S-N 曲線可見，局部最大應(yīng)力為174.46 MPa，小于輪齒疲勞極限286.22MPa(且未考慮應(yīng)力集中的影響，未將局部應(yīng)力轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的名義應(yīng)力S)，所以第1級(jí)圓柱齒輪理論上能長期使用，不會(huì)發(fā)生輪齒彎曲斷裂現(xiàn)象，能滿足該型電動(dòng)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)使用壽命270000次循環(huán)的要求。
1.減速器末級(jí)行星齒輪壽命預(yù)測(cè)
該型電動(dòng)機(jī)構(gòu)的第2、3、4級(jí)傳動(dòng)均為行星齒輪傳動(dòng)，且減速比相同，均為6.35。除了第4級(jí)行星齒輪的齒寬為9mm，第2、3級(jí)齒寬均為2.3mm 以外，各級(jí)行星齒輪結(jié)構(gòu)形式均相同。按照減速器的能量轉(zhuǎn)換特點(diǎn)，末級(jí)轉(zhuǎn)速最低，輸出轉(zhuǎn)矩最大，對(duì)末級(jí)行星減速齒輪進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算，計(jì)算結(jié)果見表1。
表1 行星齒輪齒根局部應(yīng)力及其轉(zhuǎn)換名義應(yīng)力
由于輪齒齒根處存在應(yīng)力集中，按1.2.1節(jié)確定的應(yīng)力集中系數(shù)2.49，將局部應(yīng)力轉(zhuǎn)換為名義應(yīng)力：
655.83/2.49=263.38(MPa)
477.74/2.49=191.86(MPa)
389.39/2.49=156.38(MPa)
由于263.38 MPa<286.22 MPa，即太陽輪齒根最大名義應(yīng)力263.38 MPa小于齒根疲勞極限 286.22MPa，所以行星齒輪能夠長期使用，不會(huì)發(fā)生輪齒彎曲斷裂，滿足該型電動(dòng)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)使用壽命270000次的要求。
二、試驗(yàn)驗(yàn)證情況
針對(duì)該型電動(dòng)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)壽命270000次循環(huán)的要求，開展了實(shí)物試驗(yàn)(見圖7)。試驗(yàn)設(shè)備主要由測(cè)試臺(tái)、負(fù)載裝置、計(jì)數(shù)器、控制電路以及試驗(yàn)產(chǎn)品等組成。考慮試驗(yàn)成本及試驗(yàn)周期，試驗(yàn)件只加工了3套合格產(chǎn)品。
圖7 試驗(yàn)裝置
經(jīng)過耐久疲勞試驗(yàn)，3套試驗(yàn)產(chǎn)品均通過了270000次循環(huán)壽命的試驗(yàn)考核，傳動(dòng)系統(tǒng)無故障，齒輪輪齒無斷裂現(xiàn)象發(fā)生，結(jié)構(gòu)安全可靠。限于試驗(yàn)件只有 3 件，不能進(jìn)行疲勞壽命的概率統(tǒng)計(jì)分析。
按照各級(jí)齒輪的理論壽命預(yù)測(cè)，齒輪齒根彎曲壽命均低于疲勞極限286.22MPa，理論上可以無限次使用，3套試驗(yàn)件的試驗(yàn)結(jié)果也論證了理論計(jì)算的正確性，說明本文采用的疲勞壽命預(yù)測(cè)方法具有一定的可信度，可以作為齒輪齒根彎曲疲勞壽命預(yù)測(cè)的參考。
三、結(jié)語
通過對(duì)某型電動(dòng)機(jī)構(gòu)傳動(dòng)系統(tǒng)齒輪嚙合的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)仿真，得到齒輪運(yùn)行工況下的應(yīng)力-時(shí)間響應(yīng)歷程曲線。進(jìn)一步結(jié)合材料的S-N 曲線，并考慮齒形的應(yīng)力集中系數(shù)、尺寸效應(yīng)系數(shù)，以及齒輪表面加工質(zhì)量系數(shù)等因素的影響，得到齒輪的修正S-N 曲線。將齒形根部的局部應(yīng)力通過應(yīng)力集中系數(shù)轉(zhuǎn)換到對(duì)應(yīng)的名義應(yīng)力，就可以對(duì)標(biāo)齒輪修正的S-N 曲線，得到齒輪的齒根彎曲疲勞壽命N。最后，結(jié)合產(chǎn)品實(shí)物試驗(yàn)，驗(yàn)證了齒輪齒根彎曲疲勞壽命計(jì)算方法的準(zhǔn)確性，可以將該方法推廣應(yīng)用于其他機(jī)械產(chǎn)品的疲勞壽命預(yù)測(cè)。